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\part{Integral sobre rectángulos} \label{ch:01}


\chapter{Definición y propiedades de la integral sobre rectángulos}

\section{Idea general para la definición de la integral para funciones
de varias variables.}


Para definir la integral de funciones $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, la construcción es esencialmente la misma
que para funciones reales $f:[a,b]\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Sólo que en $\mathbb{R}^{n}$, los conjuntos $\Omega $ en donde esté
definida la función, pueden ser de una gran variedad, como se muestra en
la figura \ref{fig:conjuntos-R2},  ($n=2$).

\begin{figure} \centering 
%original-width 552pt;original-height 327pt;
\includegraphics[width=211pt,height=125pt]{./img-old/01/HYOKU606}
\caption{Conjuntos en $\mathbb{R}^2$}
\label{fig:conjuntos-R2}
\end{figure}

Vamos a empezar con el caso más sencillo, tomando $n=2$, y $\Omega =R$,
un rectángulo con lados paralelos a los ejes.

Intuitivamente, la idea general es la siguiente. Supongamos que $f:R\subseteq \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es acotada y $f(x,y)\geq
0 $ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}$. Geométricamente, el volumen bajo la
superficie (el volumen bajo la gráfica de la función) es la integral de
la función $f$ sobre el rectángulo $R$. Vea la figura \ref{fig:int-sobre-ere}

\begin{figure} \centering 
%original-width 213pt;original-height 188pt;
\includegraphics[width=158pt,height=139pt]{./img-old/01/HYOKU607}
\caption{Integral de $f$ sobre $R=$volumen bajo la superficie}
\label{fig:int-sobre-ere}
\end{figure}

\begin{figure} \centering 
%original-width 196pt;original-height 131pt;
\includegraphics[width=98pt,height=65pt]{./img-old/01/HYOKU608}
\caption{División de $R$ en subrectángulos $S_{i}$}
\label{fig:divis-en-rectan}
\end{figure}

Empezaremos también haciendo, de alguna manera, una subdivisión de $R
$, en subrectángulos $S_{i}$ (ver figura \ref{fig:divis-en-rectan}).


\begin{definition}
 Las \textit{sumas inferiores} de $f$ con la partición $P$ están dadas por la suma del volumen de los
paralelepipedos, cuya base es el subrectángulo $S_{i}$ y altura el ínfimo de la función sobre $S_{i}$. Denotémoslas por $\underline{S}(f,P)$. Entonces, \textit{por definición}:
\[
 \underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_{i}V(S_{i}) .
\]
donde $m_{i}=\inf\left\{ f(x,y);(x,y)\in S_{i}\right\} $ y $V(S_{i})=$área de $S_{i}$.
\end{definition}

Análogamente, las sumas superiores se definen como sigue:
\[
 \overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_{i}V(S_{i}) .
\]
donde $M_{i}=\sup\left\{ f(x,y);(x,y)\in S_{i}\right\} $ y $V(S_{i})=$área de $S_{i}$

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 200pt;original-height 230pt;
\includegraphics[width=269pt,height=309pt]{./img-old/01/HYOKU609}
\caption{Figura 9. a) Volumen del paralelepipedo, por abajo de la superficie y sobre $S_{i}$ es igual a $m_{i}V(S_{i})$.}

\qquad\ b) $\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_{i}V(S_{i})$ \qquad\ \qquad c) $\overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_{i}V(S_{i})$
\end{figure}


Como se ve en la figura 9, podemos intuir que cualquier suma superior es
mayor o igual que cualquier suma inferior; así que, el conjunto de
sumas inferiores está acotado superiormente y, el conjunto de sumas
superiores está acotado inferiormente. Denotemos estos conjuntos con las
letras $A$ y $B$, respectivamente:
\begin{align*}
 A &= \left\{ \underline{S}(f,P);P\text{ espartición de }R\right\} \\
 B &= \left\{ \overline{S}(f,P);P\text{ espartición de }R\right\} .
\end{align*}

\noindent Entonces tenemos que existen el $\sup A$ y el $\inf B$ y $\sup
A\leq \inf B$. Además, geométricamente es claro que, si existe el
volumen bajo la superficie, cualquier suma inferior es menor o igual que
dicho volumen; y, cualquier suma superior es mayor o igual que él. O
sea, podemos intuir que
\[
\sup A=\text{volumen bajo la superficie}=\inf B
\]
\noindent La integral de $f$ sobre el rectángulo $R$, se define como 
éste valor común. Pero para poder llegar a tal definición,
requerimos de varias definiciones previas.


\section{Definiciones básicas}

En $\mathbb{R}^{2}$, un rectángulo con lados paralelos a los ejes, lo
podemos ver como el producto cartesiano de dos intervalos, cada intervalo en
uno de los ejes coordenados: $R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[
a_{2},b_{2}\right] $. En $\mathbb{R}^{n}$ tenemos n-ejes coordenados, y un
rectángulo en $\mathbb{R}^{n}$ será, por definición, el producto
cartesiano de n-intervalos, cada intervalo en uno de los ejes.

\bigskip

\begin{definition}
 Un rectángulo cerrado,  $R$, en  $\mathbb{R}^{n}$,  es un conjunto de la forma 
\[
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times
\cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] =\prod_{i=1}^{n} \left[ a_{i},b_{i}\right]
\]
 Para un rectángulo abierto  $Q$, consideramos
los intervalos abiertos; es decir  $Q=\prod_{i=1}^{n} (a_{i},b_{i})$.
\end{definition}

\begin{figure} \centering 
%original-width 229pt;original-height 93pt;
\includegraphics[width=332pt,height=122pt]{./img-old/01/HYOKU60A}
\caption{Rectángulos en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$}
\label{fig:volumen}
\end{figure}

Obsérvese que un rectángulo en $\mathbb{R}^{3}$ es un paralelepípedo con lados paralelos a los ejes (figura \ref{fig:volumen}, lado derecho).

Sabemos que el área de un rectángulo $R\subseteq \mathbb{R}^{2}$, $R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] $, es $(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})$; y para $n=3$, el volumen de un rectángulo
es, también, el producto de las longitudes de cada uno de sus lados.
Para $n$ de $3$ en adelante, lo que tenemos es el \textit{volumen}.


\begin{definition}
Sea  $n\geq 3$. El
volumen de un rectángulo  $R=\prod  _{i=1}^{n} \left[ a_{i},b_{i}\right] $, se define como sigue :
\[
V(R)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots  (b_{n}-a_{n})=\prod _{i=1}^{n} (b_{i}-a_{i}).
\]
\end{definition}


\begin{definition}
 Una partición  $P$  de un rectángulo  $R\subseteq \mathbb{R}^{n}$,  $R=\prod  _{i=1}^{n} \left[ a_{i},b_{i}\right] $, es un conjunto finito de la forma: 
\[
P=P_{1}\times P_{2}\times \cdots \times P_{n}
\]
donde  $P_{i}$  es una partición del intervalo 
 $[a_{i},b_{i}]$, $i=1, \ldots ,n$.
\end{definition}

\begin{figure} \centering 
%original-width 541pt;original-height 318pt;
\includegraphics[width=238pt,height=140pt]{./img-old/01/HYOKU60B}
\caption{$P_{1}=\left\{ x_{0}, \ldots ,x_{n}\right\} $,  $P_{2}=\left\{ y_{0}, \ldots , y_{m}\right\} $, $P=P_{1}\times P_{2}$}
\label{fig:part-R2}
\end{figure}

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 717pt;original-height 489pt;
\includegraphics[width=334pt,height=228pt]{./img-old/01/HYOKU60C}
\caption{figura 12}
\end{figure}

\textbf{Observaciones}:

\textbf{1}. Una partición $P$ de un rectángulo $R$, es un \textit{conjunto finito de }\textbf{puntos}. La partición no son los subrectángulos, sino los puntos, como los resaltados en la siguiente figura \ref{fig:parti}. 

\begin{figure} \centering 
%original-width 568pt;original-height 298pt;
\includegraphics[width=232pt,height=126pt]{./img-old/01/HYOKU60D}
\caption{}
\label{fig:parti}
\end{figure}

\textbf{2}. Como cada partición $P_{i}$ divide al intervalo $\left[
a_{i},b_{i}\right] $ en subintervalos, la partición $P=\prod  _{i=1}^{n} P_{i}$ divide al rectángulo $R$ en
subrectángulos. Cada uno de estos subrectángulos es producto
cartesiano de los correspondientes subintervalos.

\textbf{3}. Si cada partición $P_{i}$ induce una división del
intervalo $[a_{i},b_{i}]$ en $k_{i}$ subintervalos, entonces $P= \prod_{i=1}^n P_{i}$ induce una división de $R$ en $(k_{1})(k_{2}) \cdots (k_{n})$ subrectángulos. Por ejemplo, en la figura \ref{fig:part-R2} $P_{1}$ induce $n$ subintervalos de $[a_{1},b_{1}]$ y $P_{2}$ induce $m$
subintervalos de $[a_{2},b_{2}]$, de forma que $P=P_{1}\times P_{2}$ induce $nm$ subrectángulos de $R$; si $n=7$ y $m=4$, $P=P_{1}\times P_{2}$
induce una división de $R$ con $28$ subrectángulos.

\bigskip

Supongamos que tenemos una función $f:R\subseteq \mathbb{R}^{2}\rightarrow R$, $R$ rectángulo y $f$ acotada en $R$. Demos una
partición $P$ de $R$. Si $S$ es un subrectángulo inducido por $P$,
como $f$ es acotada en $R$ y $S\subseteq R$, podemos garantizar que existe
el ínfimo y el supremo de la función en $S$. Los vamos a denotar, como
sigue:
\begin{align*}
m_{S} &= \inf\left\{ f(x,y);(x,y)\in S\right\} \\
M_{S} &= \sup\left\{ f(x,y);(x,y)\in S\right\}
\end{align*}

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 187pt;original-height 182pt;
\includegraphics[width=195pt,height=190pt]{./img-old/01/HYOKU60E}
\caption{figura 15)}
\end{figure}

\begin{figure} \centering 
%original-width 158pt;original-height 206pt;
\includegraphics[width=113pt,height=147pt]{./img-old/01/HYOKU60F}
\caption{$m_{S}=\inf\left\{ f(x,y);(x,y)\in S\right\} $,  $M_{S}=\sup\left\{ f(x,y);(x,y)\in S\right\} $}
\label{fig:sup-inf-paralelpip}
\end{figure}


Como se observa en la figura \ref{fig:sup-inf-paralelpip}, para cada subrectángulo $S$, formamos
dos paralelepípedos, uno por abajo y otro por arriba de la superficie;
el primero de base $S$ y altura el ínfimo de la función, $m_{S}$ y, el
segundo, de base el mismo subrectángulo $S$ pero de altura el supremo de
la función, $M_{S}$. Denotando por $V(S)$ el área del subrectántulo $S$, tenemos que en cada subrectángulo:
\begin{align*}
m_{S}V(S) &= \text{volumen del paralelepípedo por abajo de la superficie} \\
M_{S}V(S) &= \text{volumen del paralelepípedo por arriba de la superficie}
\end{align*}


La idea expresada en los dos párrafos anteriores, se generaliza de
inmediato a funciones de $\mathbb{R}^{n}$ a $\mathbb{R}$, sólo que a
partir de $n=3$ ya no podemos hacer los dibujos.


\begin{definition}
  Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$,  $R$  rectángulo,  $f$  acotada en  $R$. Sea  $P$  partición de  $R$. Definimos la suma inferior de  $f$  con la partición  $P$, como 
\[
 \underline{S}(f,P)=\sum _{s} m_{S}V(S) ;
\]

\noindent  y la suma superior de  $f$  con la partición  $P$, como 
\[
 \overline{S}(f,P)=\sum _{s} M_{S}V(S) .
\]
\end{definition}

\noindent (Se pide $f$ acotada para poder hablar de los ínfimos y supremos
de $f$ en los correspondientes subrectángulos).

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 528pt;original-height 253pt;
\includegraphics[width=382pt,height=217pt]{./img-old/01/HYOKU60G}
\caption{Figura 9 b)
Suma inferior: $\underline{S}(f,P)=\sum _{s} m_{S}V(S)$, c) Suma
superior: $\overline{S}(f,P)=\sum _{s} M_{S}V(S)$}
\end{figure}


Independientemente de cómo sea la partición $P$, para cualquier
subrectángulo $S$ inducido por $P$ se cumple que $m_{S}\leq M_{S}$;
entonces, $m_{S}V(S)\leq M_{S}V(S)$, y $\sum _{s} m_{S}V(S)\leq 
\sum _{s} M_{S}V(S)$. Por tanto:

\begin{equation} \label{eq:part-desiguald}
\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\text{ \qquad para toda }P\text{
partición de }R 
\end{equation}
Aquí estamos considerando la suma superior y la suma inferior, con 
\emph{la misma partición} $P$.


\begin{definition}
Una partición  $Q$  del
rectángulo  $R\subseteq \mathbb{R}^{n}$, es un refinamiento de
la partición  $P$, si  $P\subseteq Q$. 
\end{definition}


Si $Q$ es refinamiento de $P$, entonces $Q$ contiene a todos los puntos de $P
$; en consecuencia, todo subrectángulo $S$ inducido por $P$, es unión de subrectángulos $S^{\prime }$ inducidos por $Q$; es decir, $S=\underset{S^{\prime }\subset S}{\cup }S^{\prime }$.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 423pt;original-height 177pt;
\includegraphics[width=276pt,height=116pt]{./img-old/01/I0A0OC00}
\caption{Figura 17) $Q$ refinamiento de $P$}
\end{figure}

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 124pt;original-height 200pt;
\includegraphics[width=121pt,height=193pt]{./img-old/01/HYOKU60I}
\caption{fgura 18) $m_{S}\leq m_{S^{\prime
}}$ y $M_{S^{\prime }}\leq M_{S}$ $\forall S^{\prime }\subseteq S$}
\end{figure}

Obsérvese que para cada $S^{\prime }$ contenido en algún $S$, ocurre
que $m_{S}\leq m_{S^{\prime }}$ y $M_{S^{\prime }}\leq M_{S}$. Además,
como $V(S)=\underset{S^{\prime }\subseteq S}{\sum }V(S^{\prime })$ (porque $S $ es unión de subrectángulos $S^{\prime }$), entonces
\[
 m_{S}V(S)\leq m_{S}\left[ \underset{S^{\prime }\subseteq S}{\sum }V(S^{\prime })\right] \leq \underset{S^{\prime }\subseteq S}{\sum }m_{S^{\prime }}V(S^{\prime }) .
\]

\noindent por lo que:
\[
 m_{S}V(S)\leq \underset{S^{\prime }\subseteq S}{\sum }m_{S^{\prime
}}V(S^{\prime }) .
\]


\noindent De modo que, considerando la suma sobre todos los subrectángulos $S$ y $S^{\prime }$ respectivamente, tenemos:
\[
 \sum _{S} m_{S}V(S)\leq \underset{S^{\prime }}{\sum }m_{S^{\prime
}}V(S^{\prime }) .
\]

\noindent Es decir,
\[
 \underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,Q) .
\]


Análogamente se llega a que $\overline{S}(f,Q)\leq \overline{S}(f,P)$.
Hemos probado el siguiente lema:


\begin{lemma} \label{le:ref-rectang}
  Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow 
\mathbb{R}$  acotada en el rectángulo  $R$. Si  $Q$  es un refinamiento de  $P$, entonces: 
\[
\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,Q)\qquad \text{ y }\qquad 
\overline{S}(f,Q)\leq \overline{S}(f,P)
\]
\end{lemma}


Este lema tiene un corolario que establece que \textit{cualquier suma
inferior siempre es menor o igual que cualquier suma superior},
independientemente de la partición (resultado esencial para poder
definir la integral).


\begin{corollary}
 Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$  acotada en el rectángulo  $R$, y sean  $P$  y  $Q$  cualesquiera dos particiones
de  $R$ ; entonces, 
\[
 \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,Q) .
\]
\end{corollary}


\begin{proof}
 Sean $P$, $Q$ cualesquiera dos particiones de $R$. Demos un
refinamiento $T$, común a $P$ y $Q$. Hay muchas formas de darlo, por
ejemplo tomamos $T$ tal que $P\cup Q\subset T$. Así, $T$ contiene todos
los puntos de $P$ y a todos los puntos de $Q$, luego $T$ es refinamiento de $P$ y de $Q$; entonces, por el lema \ref{le:ref-rectang},
\[
\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(f,T)\text{ \qquad\ y \qquad\ }\overline{S}(f,T)\leq \overline{S}(f,Q).
\]

\bigskip

\noindent Como toda suma inferior es menor o igual que toda suma superior,
con la misma partición \ref{eq:part-desiguald}, tenemos que $\underline{S}(f,T)\leq 
\overline{S}(f,T)$ y, por tanto
\[
\underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,Q).
\]
\end{proof}


Por último, en esta sección veremos una forma particular de
construir una partición.


\begin{result} \label{res:22}
  Sea  $R=\prod^n_{i=1} \left[ A_{i},B_{i}\right] $.  Si  $R\subset \cup_{j=1}^{m} W_{j}$  donde cada  $W_{j}$  es un rectángulo \emph{abierto}, $W_{j}=\prod_{i=1}^n \left( a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right) $ ; entonces existe una
partición  $P$  de  $R$  tal que todo subrectángulo  $S$  inducido por  $P$  está contenido en la cerradura
de algún  $W_{j}$  ( $S\subset \overline{W_{j}}$  para
alguna  $j$).
\end{result}


Dem. Construimos $P$ de la siguiente manera: tomamos todos los vértices
de los $W_{j}$ y los proyectamos a los ejes coordenadas; $P_{1}$ será la
unión de todas las proyecciones sobre el eje $X$, $P_{2}$ la unión
de todas las proyecciones sobre el eje $Y$, y así sucesivamente, $P_{n}$
será la unión de todas las proyecciones sobre el enésimo eje; en
todos los casos, cada $P_{i}$ empieza y termina en $A_{i}$ y $B_{i}$
respectivamente; y dejamos fuera a los que se salgan de $\left[ A_{i},B_{i}\right] $. Esto es:
\[
P_{1}=\cup_{j=1}^{m} \left\{ a_{1}^{j},b_{1}^{j}\right\}
, \ldots ,P_{n}=\cup_{j=1}^{m} \left\{
a_{n}^{j},b_{n}^{j}\right\} 
\]


\noindent ordenando y reetiquetando:
\[
 P_{1}=\left\{ A_{1}=s_{1}^{1}<s_{1}^{2}< \cdots <s_{1}^{p}=B_{1}\right\} 
\]
\[
 P_{n}=\left\{ A_{n}=s_{n}^{1}<s_{n}^{2}< \cdots <s_{n}^{q}=B_{n}\right\} 
\]
\[
 P=\prod  _{i=1}^{n} P_{i}
\]


\noindent Sea $S=\prod  _{i=1}^{n} \left[
s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] $ cualquier subrectángulo inducido por $P$
y sea $\overline{x}=(x_{1}, \ldots ,x_{n})$ el centro de $S$ (donde se intersectan
las diagonales). Entonces, para toda $i$, tenemos que
\[
s_{i}^{r-1}<x_{i}<s_{i}^{r}
\]


\noindent Por otro lado, como $S\subset R\subset \cup_{j=1}^{m} W_{j}$, entonces existe $j$ tal que $\overline{x}\in W_{j}=\prod  _{i=1}^{n} \left( a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right) $; y,
para toda $i$, ocurre que $a_{i}^{j},b_{i}^{j}\in P_{i}$ y
\[
a_{i}^{j}<x_{i}<b_{i}^{j}
\]
entonces
\[
s_{i}^{r-1}<x_{i}<b_{i}^{j}\qquad \text{y}\qquad a_{i}^{j}<x_{i}<s_{i}^{r}
\]

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 168pt;original-height 173pt;
\includegraphics[width=114pt,height=117pt]{./img-old/01/I0A2DX01}
\caption{}
\end{figure}

\noindent Comparando $s_{i}^{r-1}$ y $s_{i}^{r}$ con $a_{i}^{j}$ y $b_{i}^{j} $, dadas las desigualdades anteriores tenemos sólo cuatro
posibilidades:

1. $s_{i}^{r-1}\leq a_{i}^{j}$ y $s_{i}^{r}\leq b_{i}^{j}$, entonces
\[
a_{i}^{j}<x_{i}<s_{i}^{r}\leq b_{i}^{j}\qquad \text{\ y }\qquad s_{i}^{r-1}\leq
a_{i}^{j}<x_{i}<s_{i}^{r}
\]
\[
a_{i}^{j}<s_{i}^{r}\leq b_{i}^{j}\qquad \text{\ y }\qquad s_{i}^{r-1}\leq
a_{i}^{j}<s_{i}^{r}
\]


\noindent Pero $a_{i}^{j}$ esta en $P_{i}$, y no puede ocurrir que $s_{i}^{r-1}<a_{i}^{j}<s_{i}^{r}$, pues $\left[ s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] $
no sería subintervalo inducido por $P_{i}$, por tanto $s_{i}^{r-1}=a_{i}^{j}$ y $s_{i}^{r}\leq b_{i}^{j}$; entonces $\left[
s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] \subset \left[ a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right] $.

\bigskip 

2. $s_{i}^{r-1}\leq a_{i}^{j}$ y $s_{i}^{r}\geq b_{i}^{j}$, entonces $s_{i}^{r-1}\leq a_{i}^{j}<b_{i}^{j}\leq s_{i}^{r}$ y no puede ocurrir que $s_{i}^{r-1}<a_{i}^{j}$ y $b_{i}^{j}<s_{i}^{r}$ pues $a_{i}^{j},b_{i}^{j}\in
P_{i}$, por lo que $s_{i}^{r-1}=a_{i}^{j}<b_{i}^{j}=s_{i}^{r}$, se sigue que 
$\left[ s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] \subset \left[ a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right] $.

\bigskip 

3. $a_{i}^{j}\leq s_{i}^{r-1}$ y $s_{i}^{r}\leq b_{i}^{j}$, entonces $\left[
s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] \subset \left[ a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right] $.

\bigskip 

4. $a_{i}^{j}\leq s_{i}^{r-1}$ y $s_{i}^{r}\geq b_{i}^{j}$, entonces $a_{i}^{j}\leq s_{i}^{r-1}<x_{i}<b_{i}^{j}\leq s_{i}^{r}$ y como $b_{i}^{j}\in P_{i}$, se concluye nuevamente que $\left[ s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] \subset \left[ a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right] $.

\bigskip 

En cualquiera de los cuatro casos llegamos a que $\left[
s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] \subset \left[ a_{i}^{j},b_{i}^{j}\right] $, lo
cual se cumple para toda $i=1, \ldots ,n$; por tanto existe $j$ tal que $S\subset 
\overline{W_{j}}\Diamond $.

Otra forma de demostrarlo es por reducción al absurdo. Supongamos que
existe $S$ tal que, para todo $j=1, \ldots ,m$ ocurre que $S\nsubseteq \overline{W}_{j}$. Como $S\subset \cup_{j=1}^{m} W_{j}$ y los $W_{j}$
son abiertos, entonces necesariamente hay rectángulos $W_{j}$ que se
traslapan con $S$; en particular, hay rectángulos abiertos $W_{j}$ que
se traslapan con $\partial S$ y tienen puntos en su frontera que están
en el interior de $S$; es decir, podemos garantizar que existe $j$ tal que
\[
S\nsubseteq \overline{W}_{j}\text{ y }S\cap W_{j}\neq \varnothing \text{ y }intS\cap
\partial W_{j}\neq \varnothing 
\]


\noindent Esto es, existe $\overline{x}\in intS\cap \partial W_{j}$. Un
subconjunto de ésta intersección es vertical a alguno de los ejes
coordenados, supongamos que al iésimo; proyectando a este eje,
tenemos que $x_{i}\in int\left[ s_{i}^{r-1},s_{i}^{r}\right] $, lo que es
una contradicción, porque $\overline{x}\in \partial W_{j}$ y, entonces $x_{i}\in P_{i}$, por tanto $S\subset W_{j}$ para alguna $j\Diamond $.


\section{Definición de integral sobre rectángulos}

Sea $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ acotada en el rectángulo $R$. Consideremos el conjunto de todas las sumas inferiores, y el
conjunto de todas las sumas superiores:
\begin{align*}
A &= \left\{ \underline{S}(f,P);P\text{ es partición de }R\right\} \\
B &= \left\{ \overline{S}(f,P);P\text{ es partición de }R\right\} .
\end{align*}

\noindent Es evidente que $A$ es acotado superiormente y $B$ es acotado
inferiormente, por tanto existen el supremo y el ínfimo de $A$ y $B$
respectivamente; denotémoslos de la siguiente forma:
\begin{align*}
\mathcal{L}(f) &= \sup A= \sup\left\{ \underline{S}(f,P);P\text{ es partición
de }R\right\} \\ 
\mathcal{U}(f) &= \inf B=\inf\left\{ \overline{S}(f,P);P\text{ es partición
de }R\right\} 
\end{align*}


Por definición de ínfimo y supremo, para toda partición $P$ de $R$ se cumple que: $\underline{S}(f,P)\leq \mathcal{L} (f)$ y $\mathcal{U}(f)\leq \overline{S}(f,P)$. Además, como todo elemento de $A$ es menor o
igual que todo elemento de $B$, entonces \resaltar{(por el lema 1} de la secc.1.1, capítulo 0), se sigue que $\mathcal{L} (f)\leq \mathcal{U}(f)$. Así,
es inmediato que, para toda partición $P$ de $R$:
\[
\underline{S}(f,P)\leq \mathcal{L} (f)\leq \mathcal{U}(f)\leq \overline{S}(f,P)
\]

Ahora, para llegar a la definición de integral, vamos a comparar el
supremo de las sumas inferiores y el ínfimo de las sumas superiores,
con el volumen bajo la gráfica de la función $f$. Con fines
ilustrativos, vamos a tomar $f$ de dos variables, pero la siguiente idea se
generaliza para funciones de $n$ variables.

Supongamos que $f:R\subseteq \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es
acotada en el rectángulo $R$. Geométricamente, la integral sobre $R$
es el volumen bajo la gráfica de la función (bajo la superficie)
cuando $f(x,y)\geq 0$ para todo $(x,y)\in R$:
\[
 \int_{R} f(x,y)=\text{volumen bajo la gráfica de $f$}.
\]


Geométricamente (ver figuras 9 y \ref{fig:sum-inf-sup}) podemos notar que, las cotas
superiores del conjunto $A$ (el conjunto de sumas inferiores), son mayores o
iguales que el volumen bajo la gráfica de $f$; y, la más chica de esas
cotas superiores, no puede ser más que el volumen bajo la gráfica.
Análogamente, las cotas inferiores del conjunto $B$ (el conjunto de sumas
superiores), son menores o iguales que el volumen bajo la gráfica de $f$, y
la más grande de esas cotas inferiores no puede ser más que dicho
volumen.

\begin{figure} \centering 
%original-width 208pt;original-height 71pt;
\includegraphics[width=286pt,height=98pt]{./img-old/01/HYOKU60J}
\caption{}
\label{fig:sum-inf-sup}
\end{figure}

\noindent Entonces, si existe el volumen bajo la superficie, ocurre que:
\[
\underline{S}(f,P)\leq \mathcal{L} (f)=\text{volumen bajo la gráfica de }f=\mathcal{U}(f)\leq \overline{S}(f,P).
\]


\noindent En consecuencia, $\mathcal{L} (f)=\mathcal{U}(f)$, y este valor común es el volumen bajo la superficie; es decir, el valor común $\mathcal{L} (f)=\mathcal{U}(f)$ es la integral de $f$ sobre $R$.

De no existir el volumen bajo la gráfica, no existiría tal valor común; es decir, se tendría $\mathcal{L} (f)<\mathcal{U}(f)$ y no habría integral, la función no sería integrable.


\begin{definition}
Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$,  $R$  rectángulo y  $f$  acotada en  $R$. Decimos que  $f$  es integrable
en el sentido de Riemann (Riemann-integrable), si ocurre que  $\mathcal{L}
(f)=U(f)$. El valor común  $\mathcal{L} (f)=U(f)$  se
llama integral de  $f$  sobre  $R$  y se denota por: 
\[
 \int_{R} f(\overline{x})d\overline{x}=\mathcal{L} (f)=\mathcal{U}(f)
\]
\noindent  Si ocurre que  $\mathcal{L} (f)<U(f)$, decimos que 
 $f$  no es integrable. 
\end{definition}


La integral $\mathcal{L} (f)$ se llama \emph{integral inferior} y $\mathcal{U}(f)$ \emph{integral superior} y se denotan por:
\[
\mathcal{L} (f)=\lint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}\text{\qquad\ y \qquad }\mathcal{U}(f)=\uint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}.
\]

\noindent En consecuencia, $f$ es integrable si
\[
\lint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}=\uint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}
\]

\noindent y, en tal caso:
\[
 \int_{R} f(\overline{x})d\overline{x}=\lint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}=\uint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}
\]

\noindent Diremos que $f$ no es integrable si
\[
\lint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}<\uint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}
\]


\section{Ejemplos}


Siguiendo la idea de que la integral es el volumen bajo la gráfica de la
función, vamos a ver ejemplos de figuras conocidas, donde comprobaremos
que en efecto así es. En cada ejemplo vamos a demostrar, con base en la
definición, que la función dada es, o no es integrable, y en caso de
que lo sea calcularemos el valor de la integral. En algunos casos, como se
verá en los ejemplos (c) y (d), puede convertirse en algo engorroso, pero
no tenemos otra opción, por ahora, mas que recurrir a la definición; más adelante tendremos otras opciones, al ver algunos resultados sobre la
existencia de la integral de una función y algunos "métodos" para
calcular su valor.

\bigskip

a) La función constante, $f(\overline{x})=c$, $\forall $ $\overline{x}\in R$ rectángulo en $\mathbb{R}^{n}$, $c\in \mathbb{R}$. Vea la figura \ref{fig:fc-const}

\begin{figure} \centering 
%original-width 361pt;original-height 302pt;
\includegraphics[width=170pt,height=123pt]{./img-old/01/HYOKU60K}
\caption{$f(\overline{x})=c$}
\label{fig:fc-const}
\end{figure}

El volumen bajo la gráfica de la función, es el volumen del paralelepípedo de base $R$ y altura $c$, $cV(R)$, luego la función es
integrable y el valor de la integral es $cV(R)$. Vamos a demostrarlo.

Sea $P$ cualquier partición de $R$. Es evidente que $m_{S}=c=M_{S}$ para
todo subrectángulo $S$ inducido por $P$. Entonces,

\[
 \underline{S}(f,P)=\sum _{S} m_{S}V(S)=\sum _{S} cV(S)=c\sum _{S} V(S)=cV(R)
\]
\[
\text{ y }\overline{S}(f,P)=\sum _{S} M_{S}V(S)=\sum _{S} cV(S)=cV(R)
\]
\[
 \implies \qquad \mathcal{L} (f)=cV(R)=\mathcal{U}(f)
\]


\noindent por tanto $f(x)=c$ es integrable en $R$ y
\[
  \int_{R} f(\overline{x})d\overline{x}= \int_{R} cd\overline{x}=cV(R) .
\]

\noindent (Las funciones constantes siempre son integrables).

\bigskip

b) Vea la figura \ref{fig:fc-dirish}. Sea $\Omega =(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})\cap \lbrack 0,1]\times \lbrack
0,1]$, $\Omega $ es un conjunto de parejas en $R=[0,1]\times \lbrack 0,1]$,
con entradas racionales; es decir, $\Omega =\left\{ (x,y);x\in \mathbb{Q}\cap \lbrack 0,1]\text{ y }, y \in \mathbb{Q}\cap \lbrack 0,1]\right\} $.

Sea $f(x,y)=\left\{ 
\begin{array}{cc}
1 & \text{, }(x,y)\in \Omega \\ 
0 & \text{, }(x,y)\notin \Omega\end{array}
\right. $

\begin{figure} \centering 
%original-width 201pt;original-height 147pt;
\includegraphics[width=209pt,height=125pt]{./img-old/01/HYOKU60L}
\caption{}
\label{fig:fc-dirish}
\end{figure}

En esta figura no tiene sentido hablar de volumen, de hecho no debe tener
volumen y, en efecto, vamos a demostrar que esta función no es
integrable.

Para cualquier partición $P$ de $R=[0,1]\times \lbrack 0,1]$, el ínfimo
de $f$ siempre es $0$ y el supremo siempre es $1$: $m_{S}=0$ y $M_{S}=1$
para todo subrectángulo $S$ inducido por $P$. Entonces tenemos que, para
toda partición $P$ de $R$,
\[
 \underline{S}(f,P)=\sum _{S} m_{S}V(S)=\sum _{S} (0)V(S)=0  .
\]


\noindent Así que el supremo de las sumas inferiores no puede ser mas
que $0$, es decir $\mathcal{L} (f)=0$.

\noindent Además:
\[
 \overline{S}(f,P)=\sum _{S} M_{S}V(S)=\sum _{S} (1)V(S)=1 .
\]


\noindent O sea que $\overline{S}(f,P)=1$ para toda $P$ partición de $[0,1]\times \lbrack 0,1]$; y, por tanto, $\mathcal{U}(f)=1$. En conclusión tenemos:
\[
\mathcal{L} (f)=\lint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}=0<1=\uint _{R} f(\overline{x})d\overline{x}=\mathcal{U}(f)
\]

\noindent Por tanto $f$ no es integrable.

\bigskip

c) Vea la figura \ref{fig:fc-escalon}. $f:[0,1]\times \lbrack 0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x,y)=\left\{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{, }0\leq x<\frac{1}{2} \\ 
1 & \text{, }\frac{1}{2}\leq x\leq 1\end{array}\right. $

\begin{figure} \centering 
%original-width 199pt;original-height 195pt;
\includegraphics[width=174pt,height=132pt]{./img-old/01/HYOKU60M}
\caption{}
\label{fig:fc-escalon}
\end{figure}

Es claro que el volumen bajo la gráfica, es el volumen del paralelepípedo de base la mitad del cuadrado unitario y altura 1; y, este volumen es $\frac{1}{2}$. La función es integrable y su integral es $\frac{1}{2}$.
Veamos.

Sea $P=P_{1}\times P_{2}$ partición de $\left[ 0,1\right] \times \left[
0,1\right] $, con $P_{1}=\{0=t_{0},t_{1}, \ldots ,t_{n}\}$ y $P_{2}=\{0=s_{0},s_{1}, \ldots ,s_{m}=1\}$. Tenemos dos casos: que $\frac{1}{2}=t_{i}$
para alguna $i$ (es decir, $\frac{1}{2}\in P_{1}$); o, $\frac{1}{2}\in
(t_{j-1},t_{j})$, para alguna $j$ (es decir, $\frac{1}{2}\notin P_{1}$).

\textbf{Caso I}. Supongamos que $\frac{1}{2}\in P_{1}$; es decir, $\exists $ 
$t_{i}=\frac{1}{2}.$

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 218pt;original-height 129pt;
\includegraphics[width=190pt,height=113pt]{./img-old/01/HYOKU60N}
\caption{figura 23)}
\end{figure}

Denotaremos con la letra $S$ a todo subrectángulo inducido por $P$, que
esté a la izquierda de la recta $x=t_{i-1}$; con $W$ a los que quedan a
la derecha de la recta $x=t_{i}$; y, con la letra $T$, a los que quedan
entre ambas rectas. Como $f(x,y)=0$ si $\,x<\frac{1}{2}$ y $f(x,y)=1$ si $x\geq \frac{1}{2}$, los valores de los ínfimos y supremos de la función en los subrectángulos son: $m_{s}=0$, $m_{T}=0$, $m_{W}=1$ y $M_{S}=0$, $M_{T}=1$, $M_{W}=1$. Entonces:
\[
 \underline{S}(f,P)=\sum _{S} m_{S}V\left( S\right) +\sum _{T} m_{T}V\left( T\right) +\sum _{W} m_{W}V\left( W\right) 
\]
\[
 =\sum _{W} V(W)=\frac{1}{2}
\]
\[
 \overline{S}(f,P)=\sum _{S} M_{S}V\left( S\right) +\sum _{T} M_{T}V\left( T\right) +\sum _{W} M_{W}V\left( W\right) 
\]
\[
=\sum _{T} 1V\left( T\right) +\sum _{W} 1V\left( W\right) 
\]
\[
 =(\frac{1}{2}-t_{i-1})+(1-\frac{1}{2})=1-t_{i-1}
\]

\noindent Como $t_{i-1}<\frac{1}{2}$, $1-t_{i-1}>\frac{1}{2}$, para toda
partición $P=P_{1}\times P_{2}$ tal que $\frac{1}{2}\in P_{1}$, ocurre
que:
\[
\underline{S}(f,P)=\frac{1}{2}<1-t_{i-1}=\overline{S}(f,P)
\]

\noindent Evidentemente el supremo de las sumas inferiores, tomadas con éste tipo de particiones, es $\frac{1}{2}$.
\[
\sup \left\{ \underline{S}(f,P)\mid P=P_{1}\times P_{2}\text{, con }\frac{1}{2}\in P_{1}\right\} =\frac{1}{2}
\]

\noindent Como podemos refinar y refinar la partición, el intervalo $[t_{i-1},t_{i}]=[t_{i-1},\frac{1}{2}]$ lo podemos hacer tan pequeño como
queramos. Así acercamos $t_{i-1}$ a $\frac{1}{2}$, y acercamos $\left(
1-t_{i-1}\right) $ a $\frac{1}{2}$ tanto como queramos; de forma que, las
sumas superiores se acercan a $\frac{1}{2}$ y, por tanto, el ínfimo de
las sumas superiores, tomadas con éste tipo de particiones, es $\frac{1}{2}$.
\[
\inf \left\{ \overline{S}(f,P)\mid P=P_{1}\times P_{2}\text{, con }\frac{1}{2}\in P_{1}\right\} =\frac{1}{2}
\]

\textbf{Caso II}. Supongamos que $\frac{1}{2}\in (t_{i-1},t_{i})$ para
alguna $i$, es decir $\frac{1}{2}\notin P_{1}$.

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 220pt;original-height 135pt;
\includegraphics[width=198pt,height=122pt]{./img-old/01/HYOKU60O}
\caption{figura 24)}
\end{figure}

Denotemos por $S$ a los subrectángulos que quedan a la izquierda de la
recta $x=t_{i-1}$, por $W$ a los que quedan a la derecha de la recta $x=t_{i} $, y por $T$ a los que quedan entre las dos rectas. Como $f(x,y)=0$
si $x<\frac{1}{2}$; y, $f(x,y)=1$, si $x\geq \frac{1}{2}$, tenemos: $m_{S}=M_{S}=0$, $m_{T}=0$ y $M_{T}=1$, $m_{W}=M_{W}=1$. Entonces:
\[
\underline{S}\left( f,P\right) =\sum _{S} m_{S}V\left( S\right) +\sum _{T} m_{T}V\left( T\right) +\sum _{W} m_{W}V\left(
W\right) 
\]
\[
 =\sum _{W} V\left( W\right) =\left( 1-t_{i}\right) 
\]
\[
 \overline{S}(f,P)=\sum _{S} M_{S}V\left( S\right) +\sum _{T} M_{T}V\left( T\right) +\sum _{W} M_{W}V\left( W\right) 
\]
\[
=\sum _{T} V\left( T\right) +\sum _{W} V\left( W\right)
=(t_{i}-t_{i-1})+(1-t_{i})=1-t_{i-1}
\]



\noindent Como $\frac{1}{2}<t_{i}<1$ y $t_{i-1}<\frac{1}{2}$; entonces, para
toda partición $P=P_{1}\times P_{2}$, tal que $\frac{1}{2}\notin P_{1}$,
tenemos:
\[
\underline{S}\left( f,P\right) =1-t_{i}<\frac{1}{2}<1-t_{i-1}=\overline{S}(f,P)
\]

\noindent Refinando y refinando la partición, el intervalo $[t_{i-1},t_{i}]$ que contiene a $\frac{1}{2}$ lo podemos hacer tan pequeño como queramos. Así, acercamos $t_{i}$ a $\frac{1}{2}$, y acercamos $\left( 1-t_{i}\right) $ a $\frac{1}{2}$ tanto como queramos. De forma que,
las sumas inferiores se acercan a $\frac{1}{2}$, por tanto, el supremo de
las sumas inferiores, tomadas con este tipo de particiones, es $\frac{1}{2}$
(véase la observación de la sección 1.1, cap. 0). Análogamente, las sumas superiores se acercan a $\frac{1}{2}$, por lo que el 
ínfimo de las sumas superiores es $\frac{1}{2}$. Esto es,
\[
 \sup \left\{ \underline{S}(f,P)\mid P=P_{1}\times P_{2}\text{, tal que }\frac{1}{2}\notin P_{1}\right\} =\frac{1}{2}
\]
\[
 \inf \left\{ \overline{S}(f,P)\mid P=P_{1}\times P_{2}\text{, tal que }\frac{1}{2}\notin P_{1}\right\} =\frac{1}{2}
\]

\noindent De los dos casos podemos concluir que $\mathcal{L} (f)=\mathcal{U}(f)=\frac{1}{2}$, por tanto $f$ es integrable y el valor de la integral es $\frac{1}{2}$.

\bigskip

El siguiente es un ejemplo en el que se muestra la utilidad del lema \ref{le:sup=inf} (que, por cierto, no aparece en los libros de texto de Cálculo).
Reestableceremos el resultado y un corolario de él, antes del ejemplo.


\begin{lemma*}[\ref{le:sup=inf}]
  Sean  $A$  y  $B$  dos
conjuntos tales que  para todo $a\in A$  y  para todo $b\in B$, ocurre que  $a\leq b$. Sean  $A^{\prime }\subseteq A$  y  $B^{\prime }\subseteq B$  tales que  $\sup A^{\prime
}=\inf B^{\prime }$. Entonces,  $\sup A=\inf B$.
\end{lemma*}


\begin{corollary}
  Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$  acotada en el rectángulo  $R$. Si para alguna familia de particiones  $P_{n}$, ocurre que: 
\[
\inf \left\{ \overline{S}(f,P_{n})\mid P_{n}\text{  es partición
de  }R\right\} =\sup \left\{ \underline{S}(f,P_{n})\mid P_{n}\text{  es partición de  }R\right\} 
\]



\noindent  Entonces  $f$  es integrable en  $R$  y 
\[
 \int_{R} f=\inf \left\{ \overline{S}(f,P_{n})\mid P_{n}\text{ 
 es partición de  }R\right\} 
\]
\[
\qquad =\sup \left\{ \underline{S}(f,P_{n})\mid P_{n}\text{  es
partición de  }R\right\} 
\]

\end{corollary}


La demostración del corolario es inmediata del lema. Es muy frecuente la
aplicación de este corolario cuando se demuestra que una función es
integrable, y el lema lo resuelve.

\bigskip

d) $f(x,y)=x+y$ para todo $(x,y)\in \lbrack 0,1]\times \lbrack 0,1]$ Vea la figura \ref{fig:papalote}

\begin{figure} \centering 
%original-width 158pt;original-height 201pt;
\includegraphics[width=209pt,height=204pt]{./img-old/01/HYOKU60P}
\caption{$f(x,y)=x+y$}
\label{fig:papalote}
\end{figure}

La superficie es una especie de "papalote" que atraviesa el cubo que tiene
como base un cuadrado unitario y altura $2$. El "papalote" divide a éste
cubo en dos partes iguales, la que queda por arriba del "papalote" y la que
queda por abajo. Es claro entonces que el volumen por abajo de la gráfica es $1$. Hay que demostrarlo.

Vamos a dar una partición con la que nos resultará más fácil
encontrar el ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas
inferiores. Sea

\begin{align} \label{eq:particion}
P_{1} &= P_{2}=\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n}, \ldots ,\frac{n-1}{n},1\right\} \\
P     &= P_{1}\times P_{2}  \notag
\end{align}
%
Denotemos por $S_{ij}$ cada subrectángulo inducido por $P$; es decir,
\[
S_{i,j}=\left[ t_{i-1},t_{i}\right] \times \left[ t_{j-1},t_{j}\right] =\left[ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right] \times \left[ \frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right] 
\]

\begin{figure}[H] \centering 
%original-width 220pt;original-height 177pt;
\includegraphics[width=221pt,height=179pt]{./img-old/01/HYOKU60Q}
\caption{figura 26) $S_{ij}=\left[ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right] \times \left[ \frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right] $}
\end{figure}

\noindent Para cada subrectángulo, tenemos:
\[
 m_{S_{i,j}}=f\left( \frac{i-1}{n},\frac{j-1}{n}\right) =\frac{i-1}{n}+\frac{j-1}{n}=\frac{1}{n}\left( i+j-2\right) 
\]
\[
M_{S_{i,j}}=f\left( \frac{i}{n},\frac{j}{n}\right) =\frac{i}{n}+\frac{j}{n}=\frac{1}{n}\left( i+j\right) .
\]
El área del subrectángulo $S_{i,j}$ es
\[
 V(S_{i,j})=\left( \frac{i}{n}-\frac{i-1}{n}\right) \left( \frac{j}{n}-\frac{j-1}{n}\right) 
\]
\[
 =\frac{1}{n^{2}}\left[ ij-i(j-1)-j(i-1)+(i-1)(j-1)\right] =\frac{1}{n^{2}}
\]
por tanto:
\[
 \underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n}\left( i+j-2\right) \frac{1}{n^{2}}\right) =\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n^{3}}\left( i+j-2\right) \right) 
\]
\[
 =\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} \left( i+j-2\right) \right) =\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} \left( ni+\frac{n(n+1)}{2}-2n\right) 
\]
\[
 =\frac{1}{n^{3}}\left( n\frac{n(n+1)}{2}+n\frac{n(n+1)}{2}-2nn\right) =\frac{1}{n^{3}}\left( n^{2}(n+1)-2n^{2}\right) 
\]
\[
 =\frac{1}{n}\left( n+1-2\right) =1-\frac{1}{n}
\]


\noindent Así, tenemos que para cualquier partición de la forma \ref{eq:particion}, $\underline{S}(f,P)=1-\frac{1}{n}$, entonces:
\[
\sup \left\{ 1-\frac{1}{n}\mid \in \mathbb{N}\right\} =1=\sup \left\{ 
\underline{S}(f,P)\mid P\text{ es del tipo \ref{eq:particion}}\right\} 
\]



Para las sumas superiores, tenemos
\[
 \overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n}\left( i+j\right) \frac{1}{n^{2}}\right) =\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} \left( i+j\right) \right) 
\]
\[
 =\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} \left( ni+\frac{n(n+1)}{2}\right) =\frac{1}{n^{3}}\left( n\frac{n(n+1)}{2}+n\frac{n(n+1)}{2}\right) 
\]
\[
 =\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}
\]

\noindent por tanto, $\overline{S}(f,P)=1+\frac{1}{n}$ para toda partición $P$ del tipo \ref{eq:particion}, y
\[
\inf\left\{ 1+\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\} =1=\inf\left\{ 
\overline{S}(f,P)\mid P\text{ es del tipo \ref{eq:particion}}\right\} 
\]
Así, hemos llegado a que:
\[
\sup \left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{ es del tipo \ref{eq:particion}}\right\}
=1=\inf\left\{ \overline{S}(f,P)\mid P\text{ es del tipo \ref{eq:particion}}\right\} 
\]



En nuestro ejemplo, $A=\left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{ es partición de }[0,1]\times \lbrack 0,1]\right\} $, $A^{\prime }=\left\{ \underline{S}(f,P)\mid P\text{ es del tipo \ref{eq:particion}}\right\} $, $B=\left\{ \overline{S}(f,P)\mid
P\text{ es partición de }[0,1]\times \lbrack 0,1]\right\} $ y $B^{\prime
}=\left\{ \overline{S}(f,P)\mid P\text{ es del tipo \ref{eq:particion}}\right\} $. Obviamente
se cumplen todas las hipótesis del lema \ref{le:sup=inf}, por tanto $\mathcal{L} (f)=\sup A=\sup B=\mathcal{U}(f)$; así, la función es
integrable y
\[
 \int_{[0,1]\times \lbrack 0,1]} (x+y)d(x,y)=1
\]



\section{Teorema de Riemann}


Si $f$ es integrable, como las sumas inferiores se van acercando, por abajo,
al volumen bajo la gráfica de la función; y, las sumas superiores se van
acercando, por arriba, al volumen bajo la gráfica de la función, podemos
garantizar que la diferencia entre estas sumas, $\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)$
 la podemos hacer tan pequeña como queramos. Es
decir, si $f$ es integrable, entonces para toda $\varepsilon >0$ existe $P$
partición de $R$ tal que $\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\varepsilon $.
Vea la figura \ref{fig:sum-inf-sup-R3}

\begin{figure} \centering 
%original-width 212pt;original-height 139pt;
\includegraphics[width=356pt,height=234pt]{./img-old/01/HYOKU60R}
\caption{$\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)\medskip $}
\label{fig:sum-inf-sup-R3}
\end{figure}

En efecto; de hecho, que la diferencia entre sumas superiores e inferiores
se haga tan pequeña como queramos, es una condición necesaria y
suficiente para que una función sea integrable.


\begin{theorem} \label{th:riemman-int}
Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$,  $R=\prod  _{i=1}^{n} [a_{i},b_{i}]$,  $f$  acotada en  $R$.  
Entonces,  $f$  es integrable en  $R$   si, y sólo si,
para toda  $\varepsilon >0$   existe $P$  partición de  $R$  tal que 
\[
\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\varepsilon 
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
 Supongamos que para toda $\varepsilon >0$ existe $P$ partición de $R $ tal que $\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\varepsilon $. Como para
toda $P$ partición de $R$ ocurre que:
\[
0\leq \mathcal{U}(f)-\mathcal{L} (f)\leq \overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)
\]
entonces, para toda $\varepsilon >0$:
\[
\mathcal{U}(f)-\mathcal{L} (f)<\varepsilon 
\]
en consecuencia:
\[
\mathcal{U}(f)=\mathcal{L} (f)
\]
por tanto $f$ es integrable.


Ahora, supongamos que $f$ es integrable, entonces $\mathcal{L} (f)=\mathcal{U}(f)$. Sea $\varepsilon >0$ cualquiera; el lema \ref{le:sup-inf} nos garantiza
que existen particiones $P_{1}$ y $P_{2}$ tales que
\[
\mathcal{L} (f)-\varepsilon <\underline{S}(f,P_{1})\text{ y }\mathcal{U}(f)+\varepsilon >\overline{S}(f,P_{2}).
\]


Sea $P$ un refinamiento común a $P_{1}$ y $P_{2}$, entonces,
\[
\mathcal{L} (f)-\varepsilon <\underline{S}(f,P_{1})\leq \underline{S}(f,P)
\text{ y }\overline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P_{2})<\mathcal{U}(f)+\varepsilon
=\mathcal{L} (f)+\varepsilon 
\]


\noindent así tenemos que
\[
\overline{S}(f,P)<\mathcal{L} (f)+\varepsilon \text{ \ y \ }\underline{S}(f,P)>\mathcal{L} (f)-\varepsilon 
\]

\noindent en consecuencia,
\[
\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\mathcal{L} (f)+\varepsilon
+\varepsilon -\mathcal{L} (f)=2\varepsilon .
\]
\end{proof}



\section{Otra vía para definir la integral}


No haremos otra construcción, simplemente damos la idea de cómo
se construye esta otra definición de integral.


\begin{definition}
  Sea  $P$  una partición
de un rectángulo  $R\subseteq \mathbb{R}^{m}$. Definimos la
norma de la partición,  $\left\Vert P\right\Vert $, como: 
\[
\left\Vert P\right\Vert =\max \left\{ \left\vert P_{k}\right\vert \mid
k=1, \ldots ,m\right\} 
\]


\noindent  donde 
\[
 P=P_{1}\times P_{2}\times  \cdots \times P_{m} 
 \]
\[
\text{ y  }\left\vert P_{k}\right\vert =\max \left\{ \left(
t_{i}-t_{i-1}\right) \mid t_{i-1},t_{i}\in P_{k}\right\} 
\]
\end{definition}


\textbf{Observación 1. }Nótese que la norma de una partición $P$
es la mayor de las longitudes de \textit{todos} los lados de \textit{todos}
los subrectángulos inducidos por la partición. Si hacemos tender a
cero la norma de $P$, tiende a cero el volumen de los subrectángulos. Y
viceversa, si el "volumen" de todos los subrectángulos, tiende a cero,
entonces $\left\Vert P\right\Vert $ tiende a cero. En conclusión,
\[
\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0\text{ si y sólo si }V(S)\rightarrow 0,\text{ para todo }S\text{ inducido por }P
\]

\textbf{Observación 2}. Para ir haciendo pequeña la norma de una
partición $P$, necesitamos ir haciendo pequeño el "volumen" de 
\textit{todos} los subrectángulos inducidos por $P$. Para garantizar
esto, tenemos que dar refinamientos $Q$ de $P$ de forma que $Q$ sea el
resultado de agregar puntos a $P$ \textit{dentro de todos los subrectángulos} que induce $P$. Por ejemplo, supóngase que $P=P_{1}\times P_{2}$, con $P_{1}=\left\{ t_{0}, \ldots ,t_{m}\right\} $ y $P_{2}=\left\{
u_{0},u_{1}, \ldots ,u_{k}\right\} $; tomemos $Q$ como:
\[
P\cup \left\{ (x_{i},u_{j})\in \mathbb{R}^{2}\mid x_{i}\in (t_{i-1},t_{i})\text{, }i=1, \ldots ,m\text{, }j=1, \ldots ,k\right\} 
\]

\noindent Es claro que los subrectángulos inducidos por $Q$, son más
pequeños o iguales que los inducidos por $P$. Si para cada nuevo
refinamiento volvemos a agregar puntos dentro de todos los subrectángulos, y así sucesivamente, estaremos garantizando que la norma de la
partición tiende a cero.

Supóngase que $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es
acotada en el rectángulo $R$, y $P$ es una partición de $R$. Si
vamos haciendo cada vez más pequeña la norma de $P$; es decir, si
damos refinamientos $Q$ del tipo planteado en la observación 2
(agregando puntos dentro de todos los subretángulos inducidos por $P$),
entonces las sumas inferiores de $f$ están creciendo con cada nuevo
refinamiento, acercándose, por abajo, al volumen bajo la gráfica de
la función; y, en el límite, cuando $\left\Vert P\right\Vert $
tiende a cero, las sumas inferiores "llegan" al volumen bajo la gráfica, si
tal volumen existe. Análogamente, si $\left\Vert P\right\Vert $ es cada
vez más pequeña, las sumas superiores decrecen, acercándose por
arriba al volumen bajo la gráfica, y en en el límite cuando $\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0$, las sumas superiores "llegan" al
volumen bajo la gráfica.

En conclusión, tenemos la siguiente definición.


\begin{definition}
Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, acotada en  $R=\prod  _{i=1}^{n} [a_{i},b_{i}]$. Decimos que  $f$  es
integrable en  $R$  si los siguientes dos límites existen y son
iguales: 
\[
\text{1) }\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \underline{S}(f,P) \text{ \qquad\ 2)\ }\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \overline{S}(f,P)
\]

\noindent  en tal caso, 
\[
\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \underline{S}(f,P)=\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \overline{S}(f,P)= \int_{R} f
\]
\end{definition}

Nótese que el número $L=\underset{\left\Vert P\right\Vert
\rightarrow 0}{\lim }\underline{S}(f,P)$ existe si, y sólo si: para toda 
$\left\{ P_{n}\right\} $ sucesión de particiones de $R$, tal que
\[
\left\{ \left\Vert P_{n}\right\Vert \right\} \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow }0,
\]
se tiene que la sucesión de sumas inferiores tiende a $L$,
\[
 \left\{ \underline{S}(f,P_{n})\right\} \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow }L .
\]


\noindent Y esto sucede si, y sólo si, ocurre que: para toda $\varepsilon >0$ existe $N\in \mathbb{N}$, tal que si $n>N$ entonces
\[
\left\vert \underline{S}(f,P_{n})-L\right\vert <\varepsilon 
\]

Ahora bien, como las sumas inferiores crecen cuando $\left\Vert
P_{n}\right\Vert $ se hace pequeña, no pueden rebasar a su supremo, $\mathcal{L} (f)$, por tanto,
\[
\left\vert \underline{S}(f,P_{n})-L\right\vert <\varepsilon \text{ si y sólo
si }\left\vert \mathcal{L} (f)-L\right\vert <\varepsilon 
\]
desigualdad que se cumple para toda $\varepsilon >0$, por lo que:
\[
 \lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \underline{S}(f,P)=L=\mathcal{L} (f)=\lint f .
\]
Análogamente,
\[
 \uint f=\mathcal{U}(f)=\underset{\left\Vert P\right\Vert
\rightarrow 0}{\lim }\overline{S}(f,P) .
\]


\begin{theorem}
Sea $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, acotada en  $R$,  $f$  es integrable si, y solo
si, 
\[
\underset{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0}{\lim }\left[ \overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)\right] =0 
\]
\end{theorem}

\noindent La demostración se deja como ejercicio.


\begin{definition}
 Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$  acotada en el rectángulo  $R$, sea  $P$  partición de  $R$  que induce subrectángulos  $S$. Definimos la suma de Rieman de una función  $f$, como 
\[
S(f,\xi ,P)=\sum _{S} f(\xi _{S})V(S) 
\]
donde $\xi _{S}$ es cualquier punto en el subrectángulo $S$.
\end{definition}


\begin{theorem}
Sea  $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$  acotada en el rectángulo  $R$. Entonces  $f$  es integrable en  $R$  si, y sólo si,
el siguiente límite 
\[
\underset{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0}{\lim }\sum _{S} f(\xi _{S})V(S)
\]
existe y es el mismo  para toda $\xi _{S}\in S$.  En tal caso, 
\[
  \int_{R} f=\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \sum _{S} f(\xi _{S})V(S) .
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
Supongamos que $f$ es integrable. Obsérvese la siguiente figura \ref{fig:m-leq-f-M}:
Es claro que en cualquier subrectángulo $S$ inducido por una partición $P$, para cualquier punto $\xi _{S}\in S$, se cumple que

\begin{figure} \centering 
%original-width 158pt;original-height 209pt;
\includegraphics[width=164pt,height=192pt]{./img-old/01/HYOKU60S}
\caption{$m_{S}\leq f(\xi _{S})\leq M_{S}$}
\label{fig:m-leq-f-M}
\end{figure}


\[
m_{S}\leq f(\xi _{S})\leq M_{S}\text{ entonces }m_{S}V(S)\leq f(\xi
_{S})V(S)\leq M_{S}V(S)
\]
\[
\implies \sum _{S} m_{S}V(S)\leq \sum _{S} f(\xi
_{S})V(S)\leq \sum _{S} M_{S}V(S)
\]

\noindent por lo que:

\begin{equation} \label{eq:sumas-volumen}
\underline{S}(f,P)\leq \sum _{S} f(\xi _{S})V(S)\leq \overline{S}(f,P) 
\end{equation}

\noindent y como $f$ es integrable,
\[
\mathcal{L} (f)=\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \underline{S}(f,P)=\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \overline{S}(f,P)=\mathcal{U}(f)
\]
entonces, se sigue que:
\[
\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \underline{S}(f,P)=\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \sum _{S} f(\xi _{S})V(S)=\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \overline{S}(f,P)
\]

\noindent por tanto existe el límite de las sumas de Riemann; y, como $\xi _{S}$ es cualquier punto en $S$, el límite es el mismo para todo $\xi _{S}\in S$.

\bigskip

Ahora, supongamos que existe el límite de las sumas de Riemann y su
valor es $L$, para toda $\xi _{S}\in S$:
\[
\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \sum _{S} f(\xi _{S})V(S)=L
\]
Lo que implica que para toda $\varepsilon >0$ existe $\delta $ tal
que si $\left\Vert P\right\Vert <\delta $, entonces para toda $\xi _{S}\in S$
ocurre que:
\[
 \left\vert \sum _{S} f(\xi _{S})V(S)-L\right\vert <\varepsilon 
\]
\[
\implies L-\varepsilon <\sum _{S} f(\xi _{S})V(S)<L+\varepsilon .
\]


El lema \ref{le:sup-inf}, nos garantiza que podemos tomar $\xi _{S}\in S$ tal
que
\[
 M_{S}-\frac{\varepsilon }{V(R)}<f(\xi _{S}) ,
\]
entonces:
\[
\sum _{S} \left( M_{S}-\frac{\varepsilon }{V(R)}\right) V(S)<\sum _{S} f(\xi _{S})V(S)
\]
pero
\[
 \sum _{S} \left( M_{S}-\frac{\varepsilon }{V(R)}\right) V(S)=\sum _{S} M_{S}V(S)-\frac{\varepsilon }{V(R)}\sum _{S} V(S) 
\]
\[
=\sum _{S} M_{S}V(S)-\varepsilon =\overline{S}(f,P)-\varepsilon ,
\]
lo que implica que:
\[
\overline{S}(f,P)-\varepsilon <\sum _{S} f(\xi
_{S})V(S)<L+\varepsilon 
\]
Como $\mathcal{U}(f)\leq \overline{S}(f,P)$, entonces
\[
\mathcal{U}(f)-\varepsilon <L+\varepsilon \implies \mathcal{U}(f)-L<2\varepsilon 
\]
La desigualdad se cumple para toda épsilon positiva, por tanto 
$\mathcal{U}(f)=L$. Análogamente se llega a que $\mathcal{L} (f)=L$ y
hemos demostrado que $f$ es integrable.
\end{proof}


\section{Propiedades de la integral}


Hemos visto que si una función es positiva y acotada en un rectángulo, geométricamente su integral es el "volumen" bajo la gráfica
de la función, pero en la definición no se pide que la función
sea positiva, puede ser negativa o puede cambiar de signo. En el primer
caso, $f(\overline{x})\leq 0$ $\forall $ $\overline{x}\in R$, el valor de la
integral es el "volumen" sobre la superficie y bajo el rectángulo $R$,
con signo negativo. En el segundo caso, cuando $f$ cambia de signo, la gráfica de la función atraviesa $R$ y su integral es la suma del
"volumen" de la parte negativa con el "volumen" de la parte positiva. Las
integrales cumplen varias reglas fundamentales que nos facilitarán el cálculo del valor de la integral de una función, en particular en
estos casos. La demostración de éstas propiedades es casi idéntica a las demostraciones de las propiedades de la integral de funciones de
una variable.

\bigskip

\textbf{Teorema I.7.1}.\textit{ Sean }$f$\textit{ y }$g$\textit{\
funciones integrables en un rectángulo }$R\subseteq \mathbb{R}^{n}$\textit{, y sea }$c$\textit{\ una constante en los reales. Entonces:}

\bigskip

\textbf{PI.}\textit{\ }$f+g$\textit{\ es integrable y }$ \int_{R} f+g= \int_{R} f+ \int_{R} g$\textit{.}

\bigskip

\textbf{PII.}\textit{\ }$cf$\textit{\ es integrable y }$ \int_{R} cf=c \int_{R} f$

\bigskip

Estas propiedades nos dicen que la integral es un operador lineal. Antes de
demostrarlas, probaremos el siguiente resultado que utilizaremos en la
demostración:

\bigskip

\textbf{Resultado I.7.R1}\textit{. Sean }$f$\textit{\ y }$g$\textit{\ dos
funciones definida en un rectángulo }$R\subseteq \mathbb{R}^{n}$\textit{. Entonces, para toda partición }$P$\textit{\ de }$R$\textit{, que
induce subrectángulos }$S$\textit{, se satisfacen las desigualdades:}

\begin{center}
\textit{a) }$m_{S}(f)+m_{S}(g)\leq m_{S}(f+g)$\textit{\ y }$M_{S}(f+g)\leq
M_{S}(f)+M_{S}(g)$

\textit{b) }$\underline{S}(f,P)+\underline{S}(g,P)\leq \underline{S}(f+g,P)$ 
\textit{y} $\overline{S}(f+g,P)\leq \overline{S}(f,P)+\overline{S}(g,P)$
\end{center}

\bigskip

\noindent \textit{donde }$m_{S}(f)$\textit{, }$m_{S}(g)$\textit{\ y }$m_{S}(f+g)$\textit{\ son, respectivamente, los ínfimos de }$f$\textit{, 
}$g$\textit{, y }$f+g$\textit{, sobre }$S$\textit{; y la }$M$\textit{\
denota los supremos.}

\bigskip

Prueba del resultado. Por las propiedades de las funciones sabemos que:
\[
m_{S}(f)+m_{S}(g)\leq f(\overline{x})+g(\overline{x})=(f+g)(\overline{x})
\]

\noindent Entonces $m_{S}(f)+m_{S}(g)$ es cota inferior de $\left(
f+g\right) (\overline{x})$. Como $m_{S}(f+g)$ es la mayor de las cotas
inferiores de $(f+g)(\overline{x})$, entonces $m_{S}(f)+m_{S}(g)\leq
m_{S}(f+g\dot{)}$. Análogamente $M_{S}(f+g)\leq M_{S}(f)+M_{S}(g)$. Lo
que demuestra el resultado \resaltar{ (a).}

Para \resaltar{ (b)}, calculemos la siguiente suma:
\[
 \underline{S}(f,P)+\underline{S}(g,P)=\sum _{S} m_{S}(f)V(S)+\sum _{S} m_{S}(g)V(S)
\]
\[
 =\sum _{S} \left[ m_{S}(f)+m_{S}(g)\right] V(S)\leq \sum _{S} m_{S}(f+g)V(S)=\underline{S}(f+g,P)
\]
por tanto:
\[
\underline{S}(f,P)+\underline{S}(g,P)\leq \underline{S}(f+g,P)
\]

Análogamente, se llega a que $\overline{S}(f+g,P)\leq \overline{S}(f,P)+\overline{S}(g,P)$. Lo que demuestra el inciso \resaltar{ (b)}.$\Diamond $

\bigskip

\textbf{Demostración de PI}. Por demostrar que $f+g$ es integrable. Sea $\varepsilon >0$. Como $f$ y $g$ son integrables, por el teorema de Riemann,
existen $T$ y $Q$, particiones de $R\,$, tales que
\[
\overline{S}(f,T)-\underline{S}(f,T)<\frac{\varepsilon }{2}\ \ \text{y \ }\overline{S}(g,Q)-\underline{S}(g,Q)<\frac{\varepsilon }{2}
\]


\noindent Sea $P$ un refinamiento común a $T$ y a $Q$, entonces

\[
\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\frac{\varepsilon }{2}\ \ \text{y \ }\overline{S}(g,P)-\underline{S}(g,P)<\frac{\varepsilon }{2}
\]
lo que implica que:
\[
\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)+\overline{S}(g,P)-\underline{S}(g,P)<\varepsilon \medskip 
\]
es decir,
\[
\overline{S}(f,P)+\overline{S}(g,P)-\underline{S}(f,P)-\underline{S}(g,P)<\varepsilon 
\]
Pero, por el resultado previo (a), tenemos que
\[
\overline{S}(f,P)+\overline{S}(g,P)\geq \overline{S}(f+g,P)\text{ \ y \ }-\underline{S}(f,P)-\underline{S}(g,P)\geq -\underline{S}(f+g,P)
\]
por tanto:
\[
\overline{S}(f+g,P)-\underline{S}(f+g,P)\leq \overline{S}(f,P)+\overline{S}(g,P)-\underline{S}(f,P)-\underline{S}(g,P)<\varepsilon 
\]
Así, concluimos que $f$ es integrable. Falta sólo
demostrar que:
\[
  \int_{R} (f+g)= \int_{R} f+ \int_{R} g .
\]

Por el inciso \resaltar{(b)}, tenemos:
\[
 \underline{S}(f,P)+\underline{S}(g,P)\leq \underline{S}(f+g,P)\leq
\mathcal{L} (f+g) .
\]
De modo que si $P$ y $Q$ son dos particiones arbitrarias de $R$, y 
$T$ es un refinamiento de ambas, se cumplen las siguientes desigualdades:
\[
\underline{S}(f,P)+\underline{S}(g,Q)\leq \underline{S}(f,T)+\underline{S}(g,T)\leq \underline{S}(f+g,T)\leq \mathcal{L} (f+g)
\]
En consecuencia, para cualesquiera dos particiones $P,Q$, tenemos
que:
\[
\underline{S}(f,P)\leq \mathcal{L} (f+g)-\underline{S}(g,Q)
\]
Si, por el momento, dejamos fija la partición $Q$, tenemos que
para toda $P$ partición de $R$,
\[
\underline{S}(f,P)\leq \mathcal{L} (f+g)-\underline{S}(g,Q)
\]
Es decir, $\mathcal{L} (f+g)-\underline{S}(g,Q)$ es cota superior
de las sumas inferiores; y, por tanto,
\[
\mathcal{L} (f)\leq \mathcal{L} (f+g)-\underline{S}(g,Q)
\]
entonces:
\[
\underline{S}(g,Q)\leq \mathcal{L} (f+g)-\mathcal{L} (f)
\]
Como $Q$ es arbitraria, esto demuestra que $\mathcal{L}
(f+g)-\mathcal{L} (f)$ es cota superior de las sumas inferiores de $g$, por
lo que
\[
\mathcal{L} (g)\leq \mathcal{L} (f+g)-\mathcal{L} (f)
\]
entonces
\[
\mathcal{L} (g)+\mathcal{L} (f)\leq \mathcal{L} (f+g)
\]

Análogamente, $\mathcal{U}(f+g)\leq \mathcal{U}(f)+\mathcal{U}(g)$.
Ahora, como:
\[
\mathcal{L} (f)=\mathcal{U}(f)= \int_{R} f\text{, }\mathcal{L} (g)=\mathcal{U}(g)= \int_{R} f\text{, }\mathcal{L} (f+g)=\mathcal{U}(f+g)= \int_{R} f,
\]
tenemos
\[
 \int_{R} f+ \int_{R} g\leq  \int_{R} (f+g)\leq 
\int _{R} f+ \int_{R} g
\]
Así, llegamos a que
\[
 \int_{R} f+ \int_{R} g= \int_{R} (f+g)\Diamond 
\]


\textbf{PIII}. Sean $R^{\prime }$ y $R^{\prime \prime }$ rectángulos
tales que $R=R^{\prime }\cup R^{\prime \prime }$. Si $R^{\prime }$ y $R^{\prime \prime }$ se intersectan a lo más en la frontera, entonces
\[
 \int_{R} f=\int_{R^{\prime }} f+\int_{R^{\prime \prime }} f
\]


\noindent La demostración de las propiedades II y III se dejan como
ejercicio.

\bigskip

\textbf{PIV}. a) Si $f(x)\geq 0$ para toda $x\in R$, entonces$\qquad 
\int _{R} f\geq 0$

\qquad b) Si $f(x)\leq 0$ para toda $x\in R$, entonces$\qquad  \int_{R} f\leq 0$

\bigskip

Dem de (a). Sea $P$ cualquier partición de $R$ que induce subrectángulos $S$. Como $f$ es integrable y $f(x)\geq 0$ para toda $x\in R$,
entonces $m_{S}(f)\geq 0$ para todo $S$; por tanto $0\leq \underline{S}(f,P)\leq \mathcal{L} (f)= \int_{R} f$.$\Diamond $

La demostración del inciso (b) es análoga. De esta propiedad se
desprende inmediatamente la siguiente, tomando $h(x)=g(x)-f(x)$.

\begin{quote}
\bigskip

\textbf{PV}. Si $\ \ f(x)\geq g(x)$ $\ \ $para toda $x\in R$ \ \ $\ \implies 
$ $\ \  \int_{R} f\geq  \int_{R} g$.
\end{quote}

\bigskip

La introducción de dos nuevas funciones, $f^{+}$ y $f^{-}$, nos servirá para demostrar propiedades relacionadas con el valor absoluto.

\bigskip

\begin{definition}
 Sea  $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, acotada en  $\Omega $.
Definimos las funciones  Vea la figura \ref{fig:f-fmas-fmenus}
\begin{align*}
f^{+}(\overline{x}) &= \left\{ \begin{array}{ll}
                       f(\overline{x})\text{,} & f(\overline{x})\geq 0 \\ 
                       0\text{,} & f(\overline{x})<0\end{array}\right. \\ 
f^{-}(\overline{x}) &= \left\{ \begin{array}{ll}
                       -f(\overline{x})\text{,} & f(\overline{x})\leq 0 \\ 
                        0\text{,} & f(\overline{x})>0\end{array}\right. 
\end{align*}
\end{definition}

\noindent De la definición es inmediato que $f=f^{+}-f^{-}$ y 
$\left\vert f(\overline{x})\right\vert =f^{+}(\overline{x})+f^{-}(\overline{x})$. Además, fácilmente se puede demostrar que:

\ \ \ \ \ \qquad\ $\alpha $) $\sup f-\inf f=\sup f^{+}-\inf f^{+}+\sup
f^{-}-\inf f^{-}$,

\noindent y\qquad \qquad $\beta $) $\sup f-\inf f\geq \sup f^{+}-\inf f^{+}$\ \ y $\sup f-\inf f\geq \sup f^{-}-\inf f^{-}$

\noindent La demostración se deja como ejercicio.

\begin{figure} \centering 
%original-width 228pt;original-height 69pt;
\includegraphics[width=350pt,height=109pt]{./img-old/01/HYOKU60T}
\caption{$f, f^+$ y $f^-$}
\label{fig:f-fmas-fmenus}
\end{figure}


\begin{theorem}
 $f$ es integrable en  $R$  si, y sólo si, $f^{+}$ y  $f^{-}$ son integrables; y, 
\[
 \int_{R} f= \int_{R} \left( f^{+}-f^{-}\right) = \int_{R} f^{+}- \int_{R} f^{-}
\]
\end{theorem}

Dem. Supongamos que $f$ es integrable en $R$. Sea $\varepsilon >0$, entonces
existe $P$, partición de $R$ tal que $\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\varepsilon $, lo que implica que:
\[
 \sum _{S} M_{S}V(S)-\sum _{S} m_{S}V(S)=\underset{S}{\sum 
}\left( M_{S}-m_{S}\right) V(S)<\varepsilon  .
\]
Sustituyendo por \ref{eq:sumas-volumen}, y distribuyendo, nos queda
\[
 =\sum _{S} \left[ M_{S}(f^{+})-m_{S}(f^{+})\right] V(S)+\sum _{S} \left[ M_{S}(f^{-})-m_{S}(f^{-})\right] V(S)
\]
\[
=\left[ \overline{S}(f^{+},P)-\underline{S}(f^{+},P)\right] +\left[ 
\overline{S}(f^{-},P)-\underline{S}(f^{-},P)\right] <\varepsilon 
\]
Pero $\overline{S}(f^{+},P)-\underline{S}(f^{+},P)\geq 0$ y $\overline{S}(f^{-},P)-\underline{S}(f^{-},P)\geq 0$, por tanto
\[
\overline{S}(f^{+},P)-\underline{S}(f^{+},P)<\varepsilon \text{ }\ \ \text{y }\ \text{\ }\overline{S}(f^{-},P)-\underline{S}(f^{-},P)<\varepsilon 
\]
Lo que demuestra que $f^{+}$ y $f^{-}$ son integrables.

\bigskip

Ahora supongamos que $f^{+}$ y $f^{-}$ son integrables. Sea $\varepsilon
_{0}=\frac{\varepsilon }{2}$, para cualquier $\varepsilon $; entonces,
\[
 \overline{S}(f^{+},P)-\underline{S}(f^{+},P)+\overline{S}(f^{-},P)-\underline{S}(f^{-},P)<\varepsilon _{0}+\varepsilon _{0}=\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon 
\]
\[
 \implies \overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\varepsilon 
\]


\noindent por tanto $f$ es integrable. Como $f=f^{+}-f^{-}$, por la
propiedad de la suma, tenemos que
\[
 \int_{R} f= \int_{R} \left( f^{+}-f^{-}\right) = \int_{R} f^{+}- \int_{R} f^{-}.\Diamond
\]


Las siguientes dos propiedades son un corolarios de este teorema.

\bigskip

\textbf{Corolario I.7.a. }\textit{Si }$f$\textit{\ es integrable en }$R$\textit{, entonces }$\left\vert f\right\vert $\textit{\ es integrable y se
satisfacen las siguientes tres desiguadades (propiedades VI y VII de la
integral):}

\bigskip

\qquad \textbf{PVI}. $\qquad  \int_{R} f\leq  \int_{R} \left\vert f\right\vert \qquad \ $y \qquad $\  \int_{R} f\geq - \int_{R} \left\vert f\right\vert \medskip $

\qquad \textbf{PVII}.\qquad $\qquad \ \qquad \ \left\vert  \int_{R} f\right\vert \leq  \int_{R} \left\vert f\right\vert $

\bigskip

Dem. Si $f$ es integrable, entonces $f^{+}$ y $f^{-}$ son integrables; y, de
la propiedad I se sigue que $\left\vert f\right\vert =f^{+}+f^{-}$ es
integrable. Como $f\leq \left\vert f\right\vert $ y $-f\leq \left\vert
f\right\vert $, luego $f\geq -\left\vert f\right\vert $; entonces, a
consecuencia de V,
\[
 \int_{R} f\leq  \int_{R} \left\vert f\right\vert \qquad \text{
y }\qquad  \int_{R} f\geq  \int_{R} -\left\vert
f\right\vert =- \int_{R} \left\vert f\right\vert 
\]
Lo que demuestra VI. De la definición de valor absoluto es
inmediato que se cumple VII.$\Diamond $

\bigskip

\bigskip

\textbf{PVIII}. Si $f$ y $g$ son integrables, su producto $fg$, es
integrable.

\bigskip

Para la propiedad del producto, primero vamos a demostrar que si $f$ es
integrable, entonces $f^{2}$ es integrable; luego si $f$ y $g$ son
integrables, como $fg=\frac{\left( f+g\right) ^{2}-\left( f-g\right) ^{2}}{4}
$, entonces $fg$ deberá ser integrable.


\begin{lemma} \label{le:f2-integrable}
Sea  $f$  integrable en  $R$  y  $f(\overline{x})\geq 0$ para toda  $\overline{x}\in R$.
Entonces  $f^{2}$  es integrable. 
\end{lemma}


Dem. Si demostramos que lo siguiente, siempre se cumple (lo que haremos más adelante):
\begin{align} \label{eq:supremo-cuadrado}
\sup \left\{ \left[ f(\overline{x})\right] ^{2}\mid \overline{x}\in
R\right\} &=&\left[ \sup \left\{ f(\overline{x})\mid \overline{x}\in
R\right\} \right] ^{2}   \\
\inf \left\{ \left[ f(\overline{x})\right] ^{2}\mid \overline{x}\in
R\right\} &=&\left[ \inf \left\{ f(\overline{x})\mid \overline{x}\in
R\right\} \right] ^{2}  \notag
\end{align}
entonces es fácil concluir que $f^{2}$ es integrable. En efecto, si $P$
es cualquier partición de $R$, aplicando \ref{eq:supremo-cuadrado}, tenemos:
\[
\overline{S}(f^{2},P)-\underline{S}(f^{2},P)=\sum _{S} \left(
M_{S}(f^{2})-m_{S}(f^{2})\right) V(S)
\]
\[
\qquad \qquad \qquad \qquad =\sum _{S} \left(
M_{s}^{2}(f)-m_{S}^{2}(f\right) )V(S)
\]
\[
\qquad \ \ \qquad \ \ \qquad \ \ =\sum _{S} \left(
M_{S}(f)-m_{S}(f)\right) \left( M(f)_{s}+m_{S}(f)\right) V(S)
\]



Sea $K>0$ cualquier cota superior de $f$; entonces,

\[
\sum _{S} \left( M_{S}(f)-m_{S}(f)\right) \left(
M(f)_{s}+m_{S}(f)\right) V(S)
\]
\[
\qquad \ \ \ \qquad \ \leq 2K\sum _{S} \left(
M_{S}(f)-m_{S}(f)\right) V(S)
\]
Sea $\varepsilon >0$. Como $f$ es integrable, existe $P$ partición de $R$ tal que
\[
\sum _{S} \left( M_{S}(f)-m_{S}(f)\right) V(S)<\frac{\varepsilon }{2K}
\]
por tanto,
\[
\overline{S}(f^{2},P)-\underline{S}(f^{2},P)<\frac{2k\varepsilon }{2K}=\varepsilon 
\]
Lo cual significa que $f^{2}$ es integrable.$\Diamond $

\bigskip

Demostremos las igualdades \ref{eq:supremo-cuadrado}. Sea $M(f)=\sup \left\{ f(\overline{x})\mid 
\overline{x}\in R\right\} $; entonces, $M(f)\geq 0$, pues $f(\overline{x})\geq 0$; así tenemos:
\[
\left[ f(\overline{x})\right] ^{2}=f(\overline{x})f(\overline{x})\leq
M(f)M(f)=M^{2}(f)
\]
Por lo que $M^{2}(f)$ es cota superior de $f^{2}$.

Ahora demostraremos que $M^{2}(f)$ es la más chica de las cotas
superiores: Sea $A$ cualquier número tal que $0<A<M^{2}(f)$.
Entonces, $0<\sqrt{A}<M(f)$; es decir, $\sqrt{A}$ no es cota superior de $f$
(es menor que su supremo) y, por tanto, existe $x\in \mathbb{R}$ tal que $\sqrt{A}<f(x)\leq M(f)$.

En consecuencia $A<f^{2}(x)\leq M^{2}(f)$, lo que significa que $A$ no es
cota superior de$f^{2}$, así que
\[
M^{2}(f)=\sup \left\{ \left[ f(\overline{x})\right] ^{2}\mid \overline{x}\in R\right\} =M(f)M(f)\Diamond 
\]

\begin{corollary}
 Si  $f$  es integrable en  $R$, entonces  $f^{2}$  es integrable. 
\end{corollary}


\begin{proof}
Como $f=f^{+}-f^{-}$; entonces, $f^{2}=\left( f^{+}\right)
^{2}-2(f^{+})(f^{-})+(f^{-})^{2}$.
Además, tenemos que ($f^{+})(f^{-})=0$, $f^{2}=(f^{+})^{2}+(f^{-})^{2}$.
Pero $(f^{+})\geq 0$ y $(f^{-})\geq 0$, por el lema \ref{le:f2-integrable}, $(f^{+})^{2}$ y $(f^{-})^{2}$ son integrables. por tanto $f^{2}$ es
integrable.
\end{proof}

Otra forma más rápida de demostrarlo, es como sigue: $f^{2}=\left\vert f\right\vert ^{2}$ y $\left\vert f\right\vert $ es
integrable porque $f$ lo es; además, $\left\vert f\right\vert \geq 0$.
Entonces, por el lema 1, $\left\vert f\right\vert ^{2}$ es integrable, y por
tanto $f^{2}$ lo es.


\begin{corollary}
 Si  $f$  y  $g$ son integrables en  $R$, entonces  $fg$  es integrable en  $R$. 
\end{corollary}


\begin{proof}
 Tenemos $f$ y $g$ integrables, entonces $f+g$ y $f-g$ son integrables;
se sigue que, $\left[ f+g\right] ^{2}$ y $\left[ f-g\right] ^{2}$ son
integrables, por tanto el producto:
\[
fg=\frac{\left[ f+g\right] ^{2}-\left[ f-g\right] ^{2}}{4}
\]
es integrable.
\end{proof}


\section{Ejercicios}


1. Sea $f:R\rightarrow \mathbb{R}$ con $R$ un rectángulo en $\mathbb{R}^{n}$, $f$ integrable; y sea $g=f$ excepto en un conjunto finito de puntos.

\noindent a) Probar que $g$ es integrable y que $ \int_{R} f= \int_{R} g$.

\noindent b) ¿ Si $f=g$ excepto en una infinidad de puntos,
se puede asegurar que $g$ es integrable?

\bigskip

2. Para cada una de las siguientes funciones:

\noindent i) $f:[0,1]\times \lbrack 0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ definida
como $f(x,y)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
x & \text{si }x\text{ es irracional} \\ 
0 & \text{si }x\text{ es racionales}\end{array}\right. $

\noindent ii) $f(x,y)=[x]$\qquad\ \ \qquad\ \ \qquad\ \ iii) $f(x,y)=y$

respóndanse las preguntas:

\noindent a) ¿ Cuánto vale $\underline{S}(f,P)$ y $\overline{S}(f,P)$ para cualquier $P$?

\noindent b) ¿ Cuánto vale $\inf \left\{ \overline{S}(f,P)\mid P\text{ es partición de }[0,1]\times \lbrack 0,1]\right\} $

\noindent c) ¿ Es $f$ integrable?

\noindent d) En caso de que $f$ sea integrable ¿ cuál es
el valor de la integral (calcular geométricamente)?

Justificar las respuestas.

\bigskip

3. Sea $f:A=\prod  _{i=1}^{n} \left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ integrable. La idea de este ejercicio es
demostrar que si una función $f$ es integrable entonces el conjunto de
puntos donde $f$ es continua, es denso en $R$.

\noindent a) Sea $P=\left\{ (x_{0},y_{0}), \ldots ,(x_{n},y_{n})\right\} $ partición de $A$ que induce subrectángulos $S_{i}$, con $\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<V(A)$. Demostrar que para algún $S_{i}$ se tiene que
\[
\sup \left\{ f(x,y)\mid (x,y)\in S_{i}\right\} -\inf \left\{ f(x,y)\mid
(x,y)\in S_{i}\right\} <1
\]

(supóngase que $M_{S_{i}}-m_{S_{i}}\geq 1$ para toda $i$)

\noindent b) Demostrar que, existe un rectángulo $R_{1}$ contenido 
\textit{en el interior} de $A$ tal que
\[
\sup \left\{ f(x,y)\mid (x,y)\in R_{1}\right\} -\inf \left\{ f(x,y)\mid
(x,y)\in R_{1}\right\} <1
\]

\noindent (Si el subrectángulo al que se refiere el inciso (a) está
en el interior de $A$, se puede hacer $R_{1}=S_{i}$; si no, un refinamiento
adecuado de $P$ soluciona el asunto.)

\noindent c) Demostrar que existe $R_{2}$ contenido en el interior de $R_{1}$
tal que
\[
\sup \left\{ f(x,y)\mid (x,y)\in R_{2}\right\} -\inf \left\{ f(x,y)\mid
(x,y)\in R_{2}\right\} <\frac{1}{2}
\]

\noindent (Utilícese el hecho de que si $f$ es integrable en $A$,
entonces es integrable en cualquier rectángulo contenido en $A$; dése una $\varepsilon $ adecuada y apliquense los incisos (a) y (b).)

\noindent d) Continúese de esta manera y demostrar que, para cualquier
natural $m>2$, existe un rectangulo $R_{m}$, contenido en el interior de $R_{m-1}$, tal que
\[
\sup \left\{ f(x,y)\mid (x,y)\in R_{m}\right\} -\inf \left\{ f(x,y)\mid
(x,y)\in R_{m}\right\} <\frac{1}{m}
\]

\noindent (Aplíquese inducción sobre $m$ y úsese el inciso (c).)

\noindent ¿ Por qué podemos concluir que $\cap_{m=1}^{\infty } R_{m}\neq \varnothing $?

\noindent e) Demostrar que si $\overline{x}_{0}\in \cap_{m=1}^{\infty } R_{m}$, entonces $f$ es continua en $\overline{x}_{0}$.

\noindent (Dada cualquier $\varepsilon >0$, existe $m\in \mathbb{N}$ tal que 
$\frac{1}{m}<\varepsilon $; úsese el inciso (d) y encuéntrese una $\delta $ adecuada para la definición de continuidad.)

\noindent f) Demostrar que el conjunto de puntos donde $f$ es continua, es
denso en $A$.

\noindent (Recuérdese que un conjunto $B$ es denso en un conjunto $A$,
si para toda $r>0$ y para todo $\overline{x}\in A$ ocurre que la bola
abierta de radio $r$ con centro en $\overline{x}$, intersección $B$ es
distinto del vacío: $B_{r}(\overline{x})\cap B\neq \varnothing $; demuéstrese que el conjunto de puntos donde $f$ es continua, es denso en el
interior de $A$, usando que si $f$ es integrable en $A$, entonces lo es en
cualquier $B_{r}(\overline{x})\subset A$ y aplíquense los incisos (d) y
(e). Arguméntese porqué, entonces, el conjunto de puntos donde $f$
es continua es denso en $A$.)

\bigskip

4. a) Qué funciones tienen la propiedad de que toda suma superior
coincide con toda suma inferior?

\noindent b) Qué funciones tienen la propiedad de que alguna suma
superior coincide con alguna (otra) suma inferior?

\noindent c) Qué funciones \textit{continuas} tienen la propiedad de que
todas sus sumas inferiores son iguales?

\noindent d) Qué funciones \textit{integrables }tienen la propiedad de
que todas sus sumas inferiores son iguales?

\bigskip

5. Sea $f:A=\prod  _{i=1}^{n} \left[ a_{i},b_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ con $f(\overline{x})\geq 0$ para todo $\overline{x}\in A$. Supóngase que $f$ es integrable y continua en $A$ y
existe $\overline{x}_{0}\in A$ tal que $f(\overline{x}_{0})>0$.

\noindent a) Demostrar que $ \int_{A} f>0$

\noindent b) Dar un ejemplo de una función integrable en algún rectángulo $A$, no negativa, con una infinidad de puntos $\overline{x}_{0}$
en los que $f(\overline{x}_{0})>0$ y que, sin embargo, $ \int_{A} f=0$

\noindent c) Supóngase que $f$ es integrable en $A$ y $f(\overline{x})>0$ $\forall \overline{x}\in A$. Demostrar que $ \int_{A} f>0$.

\bigskip

6. Sea $f:[0,1]\times \lbrack 0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, definida por
\[
f(x,y)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
0 & \text{si }0\leq x<\frac{1}{2} \\ 
1 & \text{si }\frac{1}{2}\leq x\leq 1\end{array}\right. 
\]

\noindent Ya demostramos que esta función es integrable, con base en la
definición. Ahora, demostrar que $f$ es integrable, pero usando el
teorema de Riemann.

\bigskip

7. Sea $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, acotada en $R$.
Demostrar que $f$ es integrable si, y sólo si, para toda $\varepsilon >0$, existe $P$ partición de $R$ tal que:
\[
\lim _{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow 0} \left[ \overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)\right] <\varepsilon 
\]

8. Sean $f$,$g:R\rightarrow \mathbb{R}$, funciones integrables en el rectángulo $R\subset \mathbb{R}^{n}$ y $c\in \mathbb{R}$. Demostrar las
propiedades II, III y V de la integral.

\textbf{PII}. $cf$ es integrable y $ \int_{R} cf=c \int_R f$

\textbf{PIII}. Sean $R^{\prime }$ y $R^{\prime \prime }$ rectángulos
tales que su unión es un rectángulo: $R=R^{\prime }\cup R^{\prime
\prime }$. Si $R^{\prime }$ y $R^{\prime \prime }$ se intersectan a lo más en la frontera, entonces
\[
 \int_{R} f=\int_{R^{\prime }} f+\int_{R^{\prime \prime } }f
\]


\textbf{PIV}. a) Si $f(x)\geq 0$ para toda $\overline{x}\in R$, entonces $ \int_{R} f\geq 0\medskip $

\qquad b) Si $f(x)\leq 0$ para toda $\overline{x}\in R$, entonces $ \int_{R} f\leq 0$

\bigskip

9. Sea $f:R\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ acotada en el rectángulo $R$. Demostrar que:

\qquad\ $\alpha $) $\sup f-\inf f=\sup f^{+}-\inf f^{+}+\sup f^{-}-\inf
f^{-} $, y

\qquad $\ \beta $) $\sup f-\inf f\geq \sup f^{+}-\inf f^{+}$\ \ y $\sup
f-\inf f\geq \sup f^{-}-\inf f^{-}$.

